[알고리즘] P-NP, NP-hard, NP-complete

P vs. NP vs. NP-hard vs. NP-complete

• P
  • 다항시간 내에 풀 수 있는 문제
  • 또는 다차시간 알고리즘을 찾은 문제
• NP
  • 다항시간 내에 답이 맞았는지 틀렸는지 확인해줄 수 있는 문제 (verification)
  • 또는 다루기 힘들다고 증명되지 않았고, 다차시간 알고리즘도 찾지 못한 문제
• NP-hard
  • 아무리 답을 추측해도 그 답이 맞았는지 틀렸는지 확인이 어려운 문제 (예 : 최적화 문제)
• NP-complete
  • NP-hard임과 동시에 NP인 문제, 즉 모든 NP 문제를 Polynomial-Time Reduction (다항식 시간 변환)시킨 문제가 다시 NP가 될 때, 그 문제를 'NP-complete 문제'라고 부른다.

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NP-hard

• NP-hard에 속하는 문제는?
  • 모든 NP-complete은 NP-hard문제이다.
• NP-hard에 속하지 않는 문제는?
  • 아직 모름. 어떤 문제가 NP-hard가 아니라고 증명하게 된다면 P ≠ NP임을 증명하게 되는 것.
• 다항시간 알고리즘을 발견한 문제는 NP-hard가 아닐지도 모름.
  • 다항시간 알고리즘이 있는 어떤 문제가 NP-hard임을 증명하면 P = NP임을 증명하게 되는 것.

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NP-complete

어떤 문제가 NP-complete인지 증명하기 위한 과정

만일,

• (1) 문제 B가 NP에 속하고
• (2) NP에 속해 있는 모든 다른 문제 A에 대해 A ≤ ₚB이면 B는 NP-complete이다. (NP-complete의 정의)
  • (2) 또는 잘 알려진 NP-complete 문제 A에 대해 A ≤ ₚB이면 B는 NP-complete이다. (Cook의 정리)

Polynomial-Time Reduction (다항식 시간 변환)

• 문제 A의 사례 α를 문제 B의 사례 β로 바꾸되 아래 성질을 만족하면 polynomial-time reduction이라 하고, 이를 α ≤ ₚβ 로 표기한다
  • (1) 변환은 다항식 시간에 이루어진다
  • (2) 두 사례의 답은 일치한다